まず、押入れに物が少ない状態でしょうから、カビを取りたいですね。
子供さんがいるので、強烈なものを避けて、私がおススメしているのが、消毒用のエタノールで壁をふき取ってみてください。
ないのなら、少し弱いですが｢無水エタノール｣500mml程度　を買ってください。　
それで、気になるところのカビを一度、ふき取ってください。そのあと、固く絞った雑巾でふき取れればなおいいでしょうか。
カビをある程度とったら、扇風機などでかぜをあて乾かしてください。
そして、押入れの中には湿気取りシートを敷き、ホームセンターで安いすのこを(いるだけ、たくさん) 買ってきてもらいます。

そして、シートは取替えできるように大きければすのこの足の幅以下に裁断してください。
あとは、床と、押入れの背面に物を入れる高さ毎に、すのこを入れて、既存の壁にフトンなどの収納物が直接壁に当たらないようにしてください。

そして、来客時以外は、押入れの左右を数センチづつすかして生活してください。
それだけで、かなり改善されると思います。但し、これで改善されない場合は、状況写真をお送り下さい。
写真ですが、簡単に診断できればと思います。(難しいかもしれませんが・・・）

同席できませんから、今回は、１ヶ所づつで試してください。」