カビの原因には色々な事が考えられますが、ほとんどが湿気等の水気がないと発生は考え難いですね。
主に①雨漏り、②漏水、③床下からの湿気、④結露、⑤手洗い等からの水はね･･･等が考えられます。
これらに注意する事がカビの発生を抑制するとおもいます。
　①雨漏りは入居時に天井や壁等から雨が漏った形跡を見ておき、大家側の責任になるので、
　　念のために確認しておくとよいでしょう。
　②漏水も①同様大家側の責任になることが多いので、
　　最初に便器の床付近、洗面等配管が見られる付近を確認しておくのもよいことだとおもいます。
　③今回は2階ですから、考えなくてよいでしょう。
　④結露は特に寒くなってからが多いですが、賃貸の場合 結露は比較的発生しやすいので、夏にもエアコン等の使い方で発生する場合があるので、気になるのでしたら、注意しておく必要があります。
　⑤これについては、普段の習慣になるので、気をつけておくと十分に予防できますね。

以上の事に気をつけるのであれば、防湿シート等を貼ることで床材の設置がうまくいかない事も考えられますので、個人的にはシートは不要と考えます。
　
あくまで、個人的な意見ですのでご了承ください。
(フローリングタイルを貼るのでしたら、定期的にチェックする事をお勧めします。
　万が一 カビが発生しても初期であればキレイに除けられると思います。）　」